DÉCIMA HORA OPEN COURSE

En esta unidad he aprendido a representar números complejos en un plano.

Si representamos el número complejo z=a+bi en un plano, de forma que la parte con el eje X es la real y el eje Y la parte imaginaria.

NOTA:
- Al plano se le llama plano complejo
- A cada número complejo corresponde un punto del plano complejo, que llamaremos afijo.
- El módulo de un número complejo corresponde con la distancia del complejo hasta el origen.
- Al eje de abcisas (X) se le denomina eje real.
- Al eje de ordenadas (Y) se le denomina eje imaginario.
- Todo complejo forma un ángulo alfa formado por el semieje positivo del eje real y el vector definido por el origen y el afijo del número complejo.

Es muy importante saber en que cuadrante se encuentra el número complejo:

- En el primer cuadrante, la parte real e imaginaria son positivas.
- En el segundo cuadrante, la parte real es negativa y la parte imaginaria es positivas.
- En el tercer cuadrante, la parte real es negativa e imaginaria son negativas.
- En el cuarto cuadrante, la parte real es positiva pero la parte imaginaria es negativa.

NOVENA HORA OPEN COURSE

En esta unidad he aprendido a definir el conjugado de un número complejo y a definir el módulo de un número complejo. para ello debemos saber operar con números complejos.

El conjugado de un número complejo z=a+bi se define como el complejo que tiene la misma parte real de z pero imaginaria opuesta de z, es decir:  si z=3+2i entonces su conjugado es z=3-2i
                                                           si z=-2-i entonces su conjugado es z=-2+i

NOTA: si z=a+bi entonces    z*z(conjugado) = a^2 + b^2
                                             z*z(conjugado) = (a+bi)*(a-bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2= a^2 + b^2

Dado un número complejo z=a+bi, definimos el modulo de z y lo denotamos por (z) como el valor real.

(z)= raiz de a^2 + b^2

OCTAVA HORA OPEN COURSE

En esta unidad he aprendido a realizar divisiones de números complejos.

División de números complejos: el elemento inverso permite definir la división, o cociente de dos números complejos z1 y z2 (siempre que z2 sea distinto de 0) como  z1/z2z1*z2^-1

Ejemplo: calcula z1/z2 siendo z1=3+5i y z2=4+3i. En primer lugar calculamos el inverso de z2=4+3i.

z2^-1= 4/4^2+4^3 - 3/4^2+4^3 i = 4/25 - 3/25 i.
 así   z1/z2 = z1*z2^-1 = (3+5i) * ( 4/25 + -3/25 i )= 27/25 + 11/25 i .

SÉPTIMA HORA OPEN COURSE

En esta unidad he aprendido a calcular el inverso de un número complejo y la división de números complejos.

Existencia del elemento neutro:

para cada número complejo z=a+bi diferente del 0+0i existe el elemento inverso de "z" que es "z^-1" de forma que z*z^-1=z^-1*z=1

Ejemplo del cálculo inverso:

z=z^-1=(4+3i)*(x+yi)=1+0i

Aplicamos la definición de la multiplicación:

(4x-3y)+(4y+3x)i=1+0i

Igualando las partes reales e imaginarias nos quedan dos ecuaciones:

4x-3y=1   x=4/4^2+3^2
3x+4y=0  y=-3/4^2+3^2

Por lo tanto el número complejo quedará así:

z^-1= 4/4^2+3^2 + -3/4^2+3^2 i  =  z^-1 = 4/25 - 3/25  i

SEXTA HORA OPEN COURSE

En esta unidad he aprendido a definir el producto de números complejos.

El producto se define como: z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Ejemplo: (3-2i)*(1+4i) su producto es: (3*1-(-2*4))+(3*4+(-2)*1)i=(3+8)+(12-2)i=11+10i

Pero hay otra manera de realizar el producto:

Ejemplo: (3-2i)*(1+4i)= 3*1+3*4i+(-2i)*1+(-2i)*4i= 3+12i-2i-8i^2= 11+10i

Al estar elevado al cuadrado se multiplica por -1.

QUINTA HORA OPEN COURSE

En esta unidad he aprendido a definir los números complejos y la suma de números complejos.

Si a y b son dos números reales cualesquiera, se llama número complejo, en forma binómica, a la expresión a+bi
El valor i llamado numero imaginario toma el valor de raíz -1, es decir, verifica que i2=-1

Son números complejo: 2+3i, la parte real es el 2 y la parte imaginaria es el 3.
0+1i, la parte real es el 0 y la parte imaginaria es el 1.

SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i

CUARTA HORA OPEN COURSE

En esta hora he aprendido una pequeña introducción a los números complejos. los números complejos sirven ara dar solución a ecuaciones. 

Por ejemplo, si consideramos raíz -1 como un valor, podemos afirmar que - raíz -1 y raíz -1 son soluciones de la ecuación x2=-1, ya que ambos valores elevados al cuadrado son iguales a -1.

Al numero raíz -1 se le llamó número imaginario y se denoto por i.

Cualquier ecuación se puede resolver con la combinación de números reales y del nuevo número imaginario i.